이징 모형

물질의 자성을 기술하는 가장 간단한 모형. 다른 모든 상호작용을 배제하고 계를 자기 쌍극자(혹은 1/2 스핀)를 가진 입자들의 모임으로 간주하고, 그 입자들간의 자기적 상호작용과 외부자기장만 생각해서 각종 통계역학적 변수와 성질들을 파악해내는 데 중요한 역할을 하는 모델이다. 고체물리학 등에서 쓰이는 통계모델들 중에 가장 간단한 편에 속한다.

1,2차원 이징 모형은 해석적인 정확한 해를 구할 수 있는 몇 안 되는 모형이라 중요하게 평가받는다. 물론 풀이과정 자체는 절대 쉽지 않다. 1차원 이징 모형 계산만 해도 전송행렬법(Transfer-Matrix Method)이라는 혼자서는 절대 못 떠올릴만한(...) 테크닉을 써서 구하는 데다가, 2차원 이징 모형쯤 가면 정말 이런 걸 어떻게 생각했나 싶을 정도로 신기한 방법과 변수변환을 도입해가면서 풀어나간다. 아래에서도 서술하겠지만, 2차원 이상의 이징모형에서는 자성체의 상전이를 예측할 수 있으므로 퀴리온도...

한편 3차원 이징 모형은 아직도 해석적인 해를 구하지 못했다. 4차원부터는 평균장 근사라는 테크닉을 써서 그나마 근사적인 해를 구할 수 있다.

1/2 스핀들의 모임들만으로 구성된 계를 생각한다. 이 때 외부 자기장을 $\mathcal{H}=\dfrac{h}{\mu}$라고 하면, 계의 스핀들 사이의 상호작용에 의한 해밀토니안은 다음과 같이 기술된다.

$\displaystyle \mathcal{H} = -\sum_{\left<i,j\right>} J_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j} - h\sum_{i}\sigma_{i}$

여기서 시그마기호 아래의 $\left<i,j\right>$ i,j가 인접한 경우에 한해서만 합을 구하겠다는 뜻이고,[1] $\sigma_{i}$는 $i$ 번째 격자점의 스핀 1/2 를 나타내는 매개변수,[2] $J_{ij}$는 두 스핀 사이의 상호작용을 나타내는 매개변수이다.

하술할 내용들은 Plischke, Bergersen의 Equilibrium Statistical Physics, 3rd ed.를 일부 참고함.

1차원, 즉 일직선상으로 N개의 스핀들이 나열돼있는 계에서 위의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \mathcal{H} = -J\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}\sigma_{i+1} - h\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}$

인접하는 각 스핀들간의 상호작용은 전부 동등하다고 생각하면, $J_{ij}$를 상수인 $J$로 둘 수 있다. 여기서, $\sigma_{i}$는 스핀이 $+1/2$인지, $-1/2$인지에 관련된 정보를 가지고 있으므로, 위 해밀토니안의 식에서 스핀의 방향 이외의 관련된 비례상수가 전부 $J$와 $h$ 안에 들어가있다고 생각하면 $\sigma_{i}$는 $+1$, $-1$ 두 값 중 하나를 가진다고 봐도 일반성을 잃지 않는다. 처음부터 $\sigma_{i} = \pm 1$이 되도록 $J$와 $h$의 값을 정의했다고 봐도 된다.
($\sigma_{i}$를 처음부터 파울리 행렬로 간주하고 양자역학적으로 접근해서 계산하는 법도 있는데 여기서는 일단 생략한다.)

여기서, 주기 경계조건 ($N+i=i$, 즉 1차원상의 맨 처음 스핀과 맨 마지막 스핀이 인접해있다는 조건)을 적용하면,[3] 위 해밀토니안은 다음과 같이 기술할 수 있다.

$\displaystyle \mathcal{H} = -\sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right]$

처음 해밀토니안의 두번째 항을 주기 경계조건을 이용해 다른 방식으로 표기했을 뿐이며, 두 식은 같은 식임을 쉽게 알 수 있다. 이러한 표기법은 뒤에서 굉장히 중요해지게 된다. 이 때, 이 해밀토니안을 이용한 계의 분배함수 Z는 다음과 같다.

$\displaystyle Z = \sum_{\mathsf{possible \ states} } \exp(-\beta \mathcal{H}) = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left( \beta \sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right] \right)$

$\displaystyle = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left[ \beta ( V(\sigma_{1}, \sigma_{2}) + \cdots + V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}) + \cdots + V(\sigma_{N}, \sigma_{1} ) \right]$

여기서,

$\displaystyle V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}) \equiv J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1})$

로 두었다. 여기서, 뜬금없이 $\exp(\beta V(\sigma_{i}, \sigma_{j}))$ $(i,j = \pm 1)$을 성분으로 가지는 행렬 $M_{\sigma_{i}, \sigma_{j}}$, 즉

$\displaystyle M_{1,1} = e^{\beta(J+h)}, M_{1,-1}=M_{-1,1} = e^{-\beta J}, M_{-1,-1} = e^{\beta(J-h)}$

이라고 하면, 신기하게도 위에서 구했던 분배함수를

$\displaystyle Z = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} M_{\sigma_{1}, \sigma_{2}}M_{\sigma_{2}, \sigma_{3}} \cdots M_{\sigma_{N-1}, \sigma_{N}}M_{\sigma_{N}, \sigma_{1}} = Tr(M^{N})$

의 형태로 간략화시킬 수 있다. 여기에서 다음 행렬

$\displaystyle M = \left( \begin{array}{rr} e^{\beta(J+h)} && \;\; e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} \;\; && e^{\beta(J-h)} \end{array} \right)$

을 전송행렬(Transfer Matrix)이라고 하고, 위와 같은 전송행렬을 이용한 풀이법을 전송행렬법(Transfer-Matrix Method)이라고 한다. 여기서 주어진 행렬 $M$을 대각화함으로서 위 값을 쉽게 계산할 수 있다. 이 때 대각화된 행렬을 $M_{\textrm{diag}}$, 그 대각성분(고유치)을 각각 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$라고 하면,

$\displaystyle Z = \mathrm{tr}(M^{N}) = \mathrm{tr}(M_{\textrm{diag}}^{N}) = \lambda_{1}^{N} + \lambda_{2}^{N}$

이 된다. 한편으로, 고유치 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$는 $|M-\lambda I| = 0$으로 쉽계 계산할 수 있으며, 그 값은

$\displaystyle (e^{\beta (J+h)} - \lambda)(e^{\beta (J-h)} - \lambda) - e^{-2\beta J} = 0 \Rightarrow \lambda = e^{\beta J} \cosh (\beta h) \pm \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}}$

가 된다. 여기서 $\lambda_{1} > \lambda_{2}$라고 설정하면, 열역학적 극한($N \rightarrow \infty$)에서 $\lambda_{2}^{N}$ 는 $\lambda_{1}^{N}$에 비해 무시할 수 있을 정도로 작은 값이 되므로, 상대적으로 $0$으로 취급할 수 있다. 이를 반영하면

$\displaystyle Z \simeq \lambda_{1}^{N} = \left[ e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} \right]^{N}$

$\displaystyle z = e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}}$

가 된다. 여기서, $z$는 스핀 하나의 분배함수이다. 이렇게 분배함수를 계산했으니, 이제 남은 일은 이 분배함수를 이용해서 쭉 해왔던 것처럼(...) 각종 열-통계역학 변수들을 계산하는 일이다.

통계역학의 관계식들을 이용하면 각종 통계역학 변수들을 쉽게 계산할 수 있지만, 여기서는 이 모델의 자성을 파악하고 싶으므로, 스핀 하나당 자화 $m$를 계산해보도록 한다. 자화는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle m = \left(\frac{\partial f}{\partial h}\right)_{T} = \frac{1}{\beta}\frac{\partial \ln z}{\partial h}$

여기서 $f$는 스핀 하나당 헬름홀츠 자유에너지를 나타낸다. 위 식을 계산하면,

$\displaystyle m = \frac{\sinh (\beta h)}{(\sinh^{2}(\beta h) + e^{-4\beta J})^{1/2} }$

를 얻는다. 이 식에서 알 수 있듯이, 온도가 $0$보다 큰 영역에서 자기장을 변화시켜도 자화는 (특히 $m=0$ 부근에서) 연속적으로 변함을 알 수 있다.[4] 이는 자발적 자화를 만드는 상전이가 유한온도 영역에서 일어나지 않음을 의미하고, 1차원 이징 모형은 실제 자성을 설명하는 모델이 될 수 없음을 암시한다.

2차원부터는 스핀의 배치가 1차원에 비해 굉장히 자유로워지고, 그에 따라 스핀의 분포에 따라 각 스핀에 인접하는 스핀의 수 등이 천차만별이지만, 여기서는 계산의 편의를 위해 어째 아까부터 계속 가정만 하는 거 같지만 스핀들이 정방형 격자점상에 규칙적으로 나열돼있다고 가정하자. 이렇게 되면, 한 스핀에 인접하는 스핀은 (스핀들이 존재하는 면을 위에서 봤을 때) 동서남북, 네 방향으로 각각 하나씩 존재하게 돼서 계산이 수월해진다.

2차원 이상부터는 이징모형을 통해 유한온도에서의 2차상전이를 예측할 수 있고, 이는 2차원 이상의 이징모형을 통해 실제의 자성체를 이해할 수 있다는 말이 되며, 이징 모형이 중요하게 평가받고 학부과정에서도 배우는 이유가 된다.

해석적인 해는 1944년에 노르웨이계 미국인 물리학자 라스 온사게르가 구했다. 자세한 과정은 다음 영문 위키백과 문서로 가서 보자.# 결과식과 과정 모두가 참으로 더럽다(...). 그러나 이마저도 외부 자기장 H가 없다(H = 0)는 조건에서 구한 것이다. H가 0이 아닌, 일반적인 경우에 대해서는 아직도 해석적인 해가 구해지지 않았다.

3차원 이징 모형에서는 해석적인 해는 존재하지 않고 오직 수치해석적인 계산만이 가능하다.

4차원 이상부터는 평균장 정리를 이용한 근사에 계산결과가 수렴함을 확인할 수 있으며, 여기에서도 유한온도에서의 상전이가 나타나지만 세부적인 특성은 2차원이나 3차원과는 다르다.